Day 20 的三個後驗權重加起來應為 1；若忘了正規化，即使 Bayes 更新的說明寫得流暢，答案仍會錯。今天沿用這個手算案例，將 alpha（內部一致性信度係數，不證明單一構念）、2PL（雙參數邏輯模型）反應機率與題目資訊量放進同一套檢查：先辨認符號，再核對推理，最後代入能觸發錯誤的數值。這裡檢查的是計算，不把示範錯誤當成已記錄的 Claude 實測。

三層驗算

表格的用途是把「我看得懂」改成三種可失敗檢查。它不等同形式化證明，也不能驗證模型假設在資料中成立。

六層責任

資料機制沿用各原公式的模型；目標是核對公式輸出及其解釋；假設須從 alpha、2PL 與 CAT 各章帶入，不能因換了例題就省略；可觀察量是題目共變異數或反應模式；計算規則是逐式代值，再與程式對照（CAT 指電腦適性測驗，依目前估計選下一題的公式）；能找出內部不一致，但不能只靠代值證明模型適用真實資料。

若一個公式在數值例通過，只表示此例沒有觸發錯誤。反例與邊界要刻意設計，不能把一次正確當一般證明。

完整例題 1：alpha 的括號

Day 13 的四題例有 k=4、題目變異數（variance）總和 4、總分變異數 8.8：

α = 4/3 × (1 − 4/8.8) ≈ 0.727

代入 k 等於 4，alpha 約 0.727。

Claude 若漏掉 k/(k-1)，會得到 0.545；若把總分變異數誤寫成題目（item）變異數相加，分母成 4，alpha 變 0。數值 check 立刻顯示公式失去共變異數（covariance）資訊。邏輯 check 再提醒：即使 0.727 算對，也沒檢驗 tau-equivalence 或 dimensionality。

完整例題 2：2PL 的方向

使用 P=1/[1+exp{-a(θ-b)}]，a=1.5,b=.5。在 θ=b 時 P 必為 .5；θ 從 -.5、.5、1.5 增加時，P 約 .182、.5、.818。若 Claude 寫成 exp{+a(θ-b)}，曲線反向，邊界 test 會失敗。

information I=a²P(1-P) 在 P=.5 時達局部最大。若答案寫 aP(1-P)，a=1.5 時得到 .375 而非 .5625；維度與推導層都應追查平方從 score-function 變異數而來，而不是只記正確答案。

完整例題 3：posterior weights

Day 20 的 B 題作答 1，在 θ grid -1,0,1 的 likelihood 約 .095,.321,.679。相同 prior 下，總和 1.095，正規化後約 .087,.293,.620，posterior mean 約 .533（prior 即先驗分布）。未正規化直接做加權平均會得到 .584，而 weights 總和也不是 1。這是一個簡單但有效的 invariant。

Claude 協作：先要 derivation map，再要解釋

我不再問「請解釋這個公式」。輸出契約改成：列 definitions、assumptions、algebra steps、allowed range、two boundary cases、one numeric example、one common misuse。Claude 初稿若跳過某步，就標示 gap；不能用「顯然」替代。

可用前章的兩句錯話檢查解釋：「信度是個人分數的真實比例」與「高鑑別參數永遠更好」。第一句需回 Day 12 的母體變異定義；第二句要看內容涵蓋與局部相依。若只是加上「通常」或「可能」，卻沒有改正估計對象，仍未通過。這些反例讓修改有具體依據，不靠語氣判斷嚴謹程度。

反例：公式對，索引錯

程式將每題 information 算對，卻用上一步 θ 選題、更新後又把作答反應（response）寫到另一個題目 ID。每個局部公式都可通過，CAT trace（執行軌跡）仍錯。驗算因此需要 object identity 與狀態順序，不只數學。Day 22 的程式卡會保存題目 ID、input hash（檔案校驗值）與 step trace。

另一個 failure case（失敗案例）是用 rounding 過早。每步把 P 四捨五入到一位，經多題 likelihood 相乘後可能明顯偏離。文章顯示值可簡化，程式內部應保留足夠精度，並說明顯示數字無法逐位重建完整結果。

跟做時，先不看本文答案，分別計算括號、指數與權重總和；再只改一項設定，預測結果應往哪個方向移動。若算出的方向與預測不同，就回符號定義查起。這能區分抄對算式與理解每個量如何作用，也能留下可供下次修稿重跑的例子。

用同一組數值重做一次

今日產物是符號—邏輯—數值驗算表與三個可手算 probes（檢查題）。它解決「公式看似合理如何查」，沒有證明任何模型適合真實資料。基礎閱讀回前章 definitions；發展閱讀追 derivation 與 estimator（估計方法）；前沿閱讀可進 automatic differentiation、property-based testing 與形式化驗證。

下一篇把同一責任帶進 R：程式要能跑、也要鎖定資料、套件、seed（隨機種子）、輸出與推論邊界。成功結束的 console 只是一個關卡。

驗算的終點不是得到預期數字，而是知道這個數字在什麼條件下可以被使用。

來源與協作揭露

• Chalmers, R. P. (2012). mirt。